Hola @ferchou2,
El mensaje [THINGER] Writing bytes: 42 [FAIL] parece indicar que no existe buena comunicación entre el microprocesador y el modem o entre este y el server. En cualquier caso, el conjunto no logra enviar tu mensaje con las credenciales.
Te aconsejo que chequées que tu circuitería esté bien, y que puedes mandar comandos AT desde el micro al modem, también que la alimentación es la correcta y que el ESP cuenta con algún condensador de soporte para los picos de consumo que se producen al establecer la comunicación TCP.
Por último, te aconsejo que introduzcas el cliente de Thinger en el propio ESP y utilices el Arduino como esclavo y no alrevés, dado que el ESP es mucho más potente que el mega2560. Puedes ver un ejemplo de esto en el siguiente post de la comunidad: POST